一、New Solutions to Generalized mKdV Equation（论文文献综述）
郭春晓,郭艳凤[1]（2021）在《一类广义KdV-mKdV方程新的精确解》文中研究表明为了得到广义KdV-mKd方程新的精确解形式,应用扩展的G′/G展开方法,结合新的辅助方程,根据齐次平衡理论,进行KdV-mKdV方程精确解和相应怪波形成机理的研究,并得到广义KdV-mKdV方程新的精确解,这些解主要由双曲函数、三角函数和有理函数组成,其中还包含mKdV方程的部分解形式。根据解的待定形式中待定参数之间的关系,通过应用Maple软件画图和对解的详细分析,解释了不同条件下相应怪波形成的机理。所得结果对理解自然界中的怪波现象具有启发作用。
梁建莉[2]（2021）在《关于几类非线性波方程的精确行波解研究》文中研究表明本文利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了几类具有物理意义的非线性波方程的精确行波解.这些方程包括广义二分量peakon型对偶方程、旋转Camassa-Holm方程、一类非局域流体动力学方程以及分数阶mKdV方程.本文详细分析了这些非线性波方程对应的行波系统的动力学性质,以及其随参数而改变的分支行为,并借助椭圆函数等工具,通过复杂计算获得了丰富的精确行波解.本文共分七章,具体安排如下:第一章绪论,介绍了孤立子理论的发展历史,介绍了几种重要的非线性波方程的求解方法.阐明了本文的主要研究内容和研究成果.第二章介绍了与本文相关的一些基础知识,包括动力系统与微分方程,奇非线性波方程的动力系统方法.第三章研究了两个广义二分量peakon型对偶方程的分支和精确行波解,其中一个方程包含了着名的二分量Camassa-Holm方程.利用动力系统方法和奇行波方程理论,将两个方程约化为同一个平面动力系统.通过对奇异行波系统进行定性分析,画出它的相图分支,并得到了尽可能多的精确行波解,包括孤立波解、孤立尖波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解等.经过综合对比和分析,发现这些行波解的分布遵循一定的规律.第四章研究了旋转Camassa-Holm方程的分支和精确行波解.旋转Camassa-Holm方程包含了着名的Camassa-Holm方程,是广义Camassa-Holm方程的一个特例.利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了具有五个参数的参数空间中,在不同参数条件下的相图分支问题.得到了光滑孤立波解、周期波解、孤立尖波解、周期尖波解以及破缺波解及其精确表示.另外,从每组相图中都可以清楚地看到奇直线对相图的变化及分支的产生具有很大影响.第五章研究了一类非局域流体动力学方程的分支和精确行波解.通过动力系统方法和奇行波方程理论,获得了方程的各种精确行波解,包括光滑孤立波解、不可数无穷多孤立波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解、扭波和反扭波解等.其中不可数无穷多孤立波解、扭波和反扭波解是我们得到的新解.特别地,不可数无穷多孤立波解与一般光滑孤立波解不同.在高阶平衡点处出现的不可数无穷多同宿轨对应着不可数无穷多孤立波解,是一种非常奇特的现象.第六章研究了具有conformable分数阶导数的mKdV方程的分支和精确行波解.通过行波变换,将分数阶偏微分方程化为依赖于分数阶数α的常微分方程.然后利用动力系统方法分析相应行波系统的相图分支,得到了原系统的精确行波解,包括光滑孤立波解、周期波解、扭波与反扭波解.通过分析发现,分数阶mKdV方程的解具有一般mKdV方程解的基本形式,而且其波宽和波幅依赖于分数阶数α.第七章对本文所做工作进行总结,列出几个需进一步探讨的问题.
袁翠连[3]（2021）在《几类自对偶网络方程的可积性及解析研究》文中进行了进一步梳理近年来许多学者的研究逐渐从连续可积系统转变为离散可积系统,非线性微分差分方程作为非线性偏微分方程的空间离散形式,可以被用来描述许多特定的物理现象,非线性自对偶网络方程是描述电子电路中电信号传输的重要离散模型,因此研究与非线性自对偶网络方程相关的可积性质和解析解对解释电路中电信号的传输具有重要的理论意义。本文以2×2矩阵谱问题意义下的Lax可积为主线,通过零曲率方程方法研究了几类与非线性自对偶网络方程相关的离散方程的的可积性质和精确解析解及其动力学行为。具体的研究内容主要包括以下两个方面:（1）研究4类非线性自对偶网络方程的可积性质和解析解以及相关的调制不稳定性,首先基于已知的线性谱问题的空间部分,利用零曲率方程方法研究了与它们相关的方程族梯队,Lax对和无穷守恒律等可积性质,然后基于获得的新Lax对,构造出4类方程的离散N-波达布变换和广义（m,N-m）-波达布变换,得到了孤子、有理孤子和半有理孤子以及不同类型孤子的混合作用结构,通过对解的表达式进行渐近分析讨论了孤子碰撞前后的渐近状态表达式,分析了有理孤子解的数学特征,借助计算机符号软件Maple作图分析研究了孤子的结构和作用现象,并借助Matlab进行数值模拟讨论了孤子解的动力学演化和传播稳定性;（2）研究了与非线性自对偶网络方程相关的Toda类型的晶格方程即修正指数Toda晶格方程的可积性和解析解以及动力学行为,首先基于已知的线性谱问题的空间部分,利用屠格式方法给出了相关的方程族梯队,Hamiltonian结构、Liouville可积以及无穷守恒律等可积性质,然后基于获得的新的Lax对,构造出修正指数Toda晶格方程的离散广义（m,N-m）-波达布变换,得到了孤子解、有理解和半有理解以及混合作用解等不同类型的解析解,通过渐近分析研究了这些解的渐近状态表达式,讨论了有理解的数学特征,并借助计算机软件Maple和Matlab通过图像分析和数值模拟讨论了孤子解的弹性作用现象和传播稳定性,特别是发现了该离散方程在倾斜平面背景上的扭型多孤子解及弹性作用现象。
陈莉[4]（2021）在《超对称非等谱KdV方程的孤子解以及Darboux变换》文中指出随着超对称系统在物理学中的广泛应用,超对称方程的导出及其可积性质日渐成为非线性科学的重要研究内容。本文主要研究了超对称非等谱KdV方程,在运用谱参数展开方法导出了超对称非等谱KdV方程后,分别利用Hirota双线性方法,Wronskian技巧,Darboux变换对超对称非等谱KdV方程进行求解。首先,运用谱参数展开方法得到了超对称等谱KdV方程与超对称非等谱KdV方程,并分别给出了它们的Lax对。其次,利用Hirota双线性方法推导出超对称非等谱KdV方程的双线性形式,并且构造出超对称非等谱KdV方程的单孤子解、双孤子解、三孤子解以及n孤子解的一般形式。从超对称非等谱KdV方程的双线性形式出发,构造出具有Wronskian行列式形式的孤子解。然后,基于超对称等谱KdV方程的Darboux变换,构造了超对称非等谱KdV方程的一次Darboux变换、二次Darboux变换和三次Darboux变换。在此基础上进行推广,利用超行列式给出了 n次Darboux变换的一般形式。最后,在超对称非等谱KdV方程的Darboux变换的基础上,从变系数超对称KdV方程的Lax对出发构造出了方程的Darboux变换。
朱晓鸣[5]（2020）在《两类（2+1）维可积方程簇的可积分解及其精确解》文中提出本文主要研究两类（2+1）维可积方程簇的可积分解问题。针对（2+1）维可积方程簇,我们将具有一定物理背景（2+1）维AKNS系统和（2+1）维KN系统作为研究对象,一方面,讨论两类（2+1）维可积系统需要满足的两类约化条件;另一方面,讨论两类（2+1）维可积系统在耦合、约化情形下的可积分解问题。作为应用,我们通过达布变换和约化方程可积分解的方法对两类（2+1）维可积方程进行求解,并通过几何图像分析解的动力学行为。文章主要分为以下两个部分:第一部分,首先简要回顾AKNS系统和KN系统的相关成果,讨论两类（1+1）维可积系统需要满足的两类约化条件,给出耦合NLS方程、耦合mKdV方程、耦合DNLS方程、耦合DMKDV方程的两类约化形式;然后将两类（1+1）维可积系统拓展到（2+1）维的情形,讨论（2+1）维AKNS系统、（2+1）维KN系统需要满足的两类约化条件,给出耦合（2+1）维NLS方程、耦合（2+1）维mKdV方程、耦合（2+1）维DNLS方程的两类约化形式;最后通过递推算子讨论（1+1）维可积系统和（2+1）维可积系统之间的具体联系,给出两类（2+1）维可积系统的可积分解定理。第二部分,在可积方程求解方面,可以细分为以下两类情形。第一类情形,首先构造约化NLS方程、约化mKdV方程的达布变换。然后通过约化方程可积分解的方法对一类非局部约化情形下的（2+1）维NLS方程进行求解。最后对该方程的一阶孤立子解进行渐进分析,得出以下结论:（1）一阶孤立子解的动力学行为是两个孤立子之间的弹性碰撞,包含八种不同的碰撞、消失形态;（2）一阶有理孤立子解的动力学行为是两个有理孤立子之间的弹性碰撞,但是由于参数的相互影响,只包含五种不同的碰撞、消失形态。第二类情形,首先构造约化DNLS—Ⅰ方程、约化DMKDV—Ⅰ方程的达布变换。然后通过约化方程可积分解的方法对一类局部约化情形下的（2+1）维DNLS—Ⅰ方程进行求解。最后对该方程的精确解进行渐进分析,得出以下结论:（1）孤立子解、呼吸子解、有理孤立子解和lump解的构造需要选取不同组合形式的达布变换;（2）孤立子解、呼吸子解、有理孤立子解和lump解的动力学行为具有多种不同的形式。
王胜男[6]（2020）在《离散mKdV方程的微扰理论》文中指出本文利用反散射变换,研究了离散mKdV方程的微扰理论.首先我们放弃离散mKdV方程的与时间相关的辅谱问题,此时,谱变量与时间相关.然后利用以反散射变换为基础的微扰方法得到基本方程,当修正项趋于无穷小时,该方程就约化为通常的离散mKdV方程.接下来讨论含修正项时各参数的时间演化,同样得到与通常mKdV方程应有结果只差一个微扰项的结论.此外,还给出了守恒律的微扰修正.
申亚丽[7]（2019）在《非线性局域波及其动力学分析》文中进行了进一步梳理随着非线性科学的不断发展,大量新的非线性系统在各个学科不断涌现,利用计算机大容量、高速度的特点,借助精确的符号计算,建立适合于所考虑问题的构造性研究算法,在计算机上实现若干非线性问题研究成果的机械化输出和非线性现象的可视化模拟,仍然是数学机械化发展的主要方向.本文以若干非线性系统为研究对象,借助符号计算系统Maple,展开非线性局域波求解方法及其动力学性质的研究.主要工作包括如下四部分:第一部分,结合Hirota双线性方法对原Backlund变换方法进行修正,给出了构造广义双线性Backlund变换以及利用广义双线性Backlund变换构造非线性局域波的算法,利用该算法研究了三个高维的重要数学物理模型.给出了它们的双线性形式,研究广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系,构造了它们的广义双线性Backlund变换,获得了它们的若干非线性局域波解.第二部分,从Lax方程和零曲率方程出发,编制了 Lax对的自动验证软件包Laxpairtest.基于验证正确的Lax对,构造了一个新近提出的重要的非局部非线性可积系统AB-NLS的n阶Darboux变换,进而通过Darboux变换获得了该系统的1-孤子和2-孤子解.给出了解的三维演化图,分析了其动力学行为.最后,根据Jacobi椭圆函数构建了 AB-NLS系统的周期解.第三部分,将一个新的辅助二次函数的解和双线性变换有机结合,构造获得了高维非线性系统,即4+1维Fokas方程新的lump解;分析了解在不同参数条件下呈现的亮lump波和暗lump波;结合极值理论讨论了 lump波的动力学性质,获得了不同情形下lump波的振幅极值和极值点.进而,提出一种新的符号计算方法,利用该方法研究获得了两个高维非线性系统的带有控制中心的高阶怪波解,分析了解的渐近行为.该方法可直接有效地为高阶怪波的构造提供新的思路.第四部分,综合多种经典方法并结合一些新方法,首次研究获得了带源KdV方程众多非线性局域波解;利用经典Lie群对称法,并借助符号计算系统Maple首次得到了该方程的对称群,基于群不变理论,获得该方程的群不变解;最后,利用Painleve截断展开方法综合研究了该方程的Painleve性质,获得了其Laurent展开形式的解.在得到的三个分支中,通过截断展开式,获得KdV-SCS方程的Backlund变换。
杨军[8]（2018）在《几个非线性可积方程的孤子解及其动力学性质》文中提出非线性可积方程的孤子解及其动力学性质的研究是可积系统理论研究中的最重要的课题。本论文主要研究了耦合聚焦-散焦复短脉冲方程、空间离散Hirota方程、空间离散非局部复的修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程以及非局部复的耦合无色散方程。研究了这几个非线性可积方程的可积性,获得了这几个非线性可积方程的精确解,包括不同类型的孤子解、呼吸子解和怪波解。讨论了空间离散非局部复mKdV方程的可积性和对应连续方程可积性之间的联系。本文所获得的研究结果无疑给人们认识和理解这几个非线性可积系统的可积性增加了新的有价值的内容。文章分五个章节进行论述:第一章,主要介绍可积系统精确求解的几种方法以及怪波解的概念,并阐述本文的主要研究结果和创新点。第二章,研究一个耦合聚焦-散焦复短脉冲方程。众所周知,非线性Schrodinger方程（NLS）可以用来描述单色波在弱的非线性色散介质中的传播,例如光波。文献J.E.Rothenberg[Opt.Lett.17（1992）]指出,当光脉冲的宽度达到飞秒级（10-15s）的时候,NLS方程不能准确描述超短脉冲在非线性介质中的传播。T.Schafer和C.E.Wayne[Phys.D.196（2004）]提出了短脉冲（SP）方程,用它来描述超短脉冲在非线性介质中的传播,SP方程的出现引起了人们的极大兴趣。A.Sakovich,S.Sakovich在文献[J.Phys.Soc.Japan 74（2005）]中给出了SP方程的Lax对,证明了SP方程在hodograph变换下可以转化成sine-Gordon方程。B.F.Feng[Phys.D 297（2015）]从Maxwell方程组出发,推导出了复短脉冲（CSP）方程和耦合聚焦-聚焦CSP方程,并用Hirota双线性方法求得了这个方程的多孤子解。L.M.Ling,B.F.Feng,Z.N.Zhu[Phys.D 327（2016）]用Darboux变换（DT）方法构造了 CSP方程的多孤子解、多呼吸子解和高阶怪波解。他们[Phys.Rev.E 93（2016）]从Maxwell方程组出发,推导出了散焦CSP方程,并用Darboux变换方法求得了这个方程的多暗孤子解。耦合NLS（CNLS）方程（聚焦-聚焦、聚焦-散焦、散焦-散焦）和聚焦、散焦CSP方程的研究工作启发我们研究耦合CSP（CCSP）方程。聚焦-聚焦CCSP方程的孤子解在文献[Phys.D.297（2015）]和[Wave Motion 67（2016）]中已被研究。本章中我们用Hirota双线性方法研究求解了聚焦-散焦CCSP方程的多孤子解,包括亮-亮、亮-暗、暗-暗孤子解以及呼吸子解和亮、暗怪波解。同时指出每一类孤子中都存在三种不同的波型:光滑孤子、尖峰孤子和圈孤子。考察了孤子之间的相互作用,发现亮-亮孤子之间会出现非弹性碰撞,亮-暗孤子之间会呈现周期现象,暗-暗孤子中光滑孤子和尖峰孤子碰撞后保持各自的形态不变。这些表明聚焦-散焦CCSP方程的孤子解性态不同于单分量的CSP方程和聚焦-聚焦CCSP方程。第三章,研究一个空间离散Hirota方程。A.Pickering,H.Q.Zhao和Z.N.Zhu[Pro-c.R.Soc.A 427（2016）]研究了一个空间离散Hirota方程与Hirota方程的可积性之间的联系。L.Draper[Oceanus,10（1964）]首先提出怪波的概念,此后怪波现象相继在许多不同的领域被发现。Akhmediev,A.Ankiewicz和M.Taki在文献[Phys.Lett.A 373（2009）]中指出,聚焦NLS方程的有理解能够模拟深水中怪波的发生,而高阶怪波解是一阶有理解的非线性叠加。B.L.Guo,L.M.Ling和Q.P.LiuPhys.Rev.E 85（2012）]用广义Darboux变换构造了聚焦NLS方程的N-阶怪波解。关于Hirota方程的高阶怪波已有研究。J.HePhys.Rev.E 85（2012）]用改进的Darboux变换求解了Hirota方程的高阶怪波解。X.Wang,Y.Q.Li,Y.Chen[Wave Motion 51（2014）]用广义Darboux变换方法求解了耦合Hirota方程的高阶怪波解。N.Akhmediev,A.Ankiewicz和J.M.Soto-Crespon[Phys.Rev.E 80（2009）]用双线性方法得到Ablowitz-Ladik（AL）方程和离散Hirota方程的N-阶有理解。随后Y.Ohta和J.K.Yang[J.Phys.A 47（2014）]用双线性方法给出了离散Hirota方程的N-阶怪波解。本章中,我们用广义Darboux变换构造了一个新的空间离散Hirota方程的N-阶怪波解,分析了怪波解的性质,揭示出了这个空间离散Hirota方程的高阶怪波具有非常丰富的结构。对1-阶和2-阶离散怪波解做了数值模拟,结果显示怪波解的稳定性和怪波的强弱程度有关。我们用等高线法[Proc R.Soc.A 471（2015）]考察了一阶怪波的长度、宽度和面积,并分析了怪波的调制不稳定性。第四章,研究一个空间离散非局部复mKdV方程的可积性和非局部复mKdV方程的可积性之间的联系。Z.N.Zhu,H.Q.Zhao,X.N.Wu在文献[J.Math.Phys.52（2011）]中研究了一个耦合空间离散mKdV系统的可积性和一个耦合mKdV系统的可积性之间的联系,指出这个耦合离散mKdV系统的Lax对、守恒律、Darboux变换、精确解在空间步长趋于零时,收敛到耦合mKdV系统对应的结果。最近,Ablowitz和Mus-slimani[Phys.Rev.Lett.110（2013）]提出了一个新的非线性可积方程iqt（x,t）+qxx（x,t）±2q2（x,t）q*（-x,t）=0,（1）称之为非局部的NLS方程,并用反散射方法求解了该方程的Cauchy问题。他们在文献[Phys.Rev.E 90（2014）]中研究了非局部离散NLS方程,用Riemann-Hilbert方法求得了该方程的离散孤子解。Ablowitz和Musslimani在文献[Nonlinearity 29（2016）]和文献[Stud.Appl.Math.139（2016）]中提出了一系列非线性非局部可积方程,包括非局部实的和复的mKdV方程。L.Y.Ma,S.F.Shen和Z.N.Zhu[J.Math.Phys.58（2017）]研究了非局部复mKdV方程的规范等价结构,证明了它等价于一个旋转链模型。本章中,我们研究空间离散非局部复mKdV方程可积性和非局部复mKdV方程可积性之间的联系。构造了这个空间离散非局部复mKdV方程的Lax对、N-次Darboux变换,得到了该方程的反暗孤子,M-型孤子,呼吸子,扭结孤子和局部有理解。证明了该方程的Lax对、DT、孤子解的连续极限收敛到非局部复mKdV方程相对应的结果。第五章,研究一个非局部复的耦合无色散（CCD）方程。Ablowitz和Musslimani在文献[Nonlinearity 29（2016）]中提出了非局部sine-Gordon方程。J.L.Ji,Z.L,Huang和Z.N.Zhu[Ann.Math.Sci.Appl.29（2016）]用Darboux变换求出了这个方程的精确解,同时提出 了非局部复的CCD方程。K.Chen,X.Deng,S.Y Lou,D.J.Zhang[Stud.in Appl.Math.141（2018）]从经典复CD方程的双Wronskian形式的解约化得到了非局部复的CCD方程的双Wronskian形式的解。本章中,我们构造了非局部复的CCD方程的N-次Darboux变换,得到了该方程的精确解并对解的性质进行了研究。从零种子解出发,我们得到了该方程的反暗孤子,W型孤子和“增长孤子”、“衰减孤子”以及周期波解。从非零种子解出发,得到了反暗-反暗、反暗-暗、暗-暗孤子。从零种子解出发,我们还得到了反暗-W型2孤子,以及反暗-反暗-W型3孤子,并研究了这些孤子的相互作用。结果显示,和实的非局部CD方程相比,非局部复的CCD方程的解具有更为丰富的性质。
范俊杰[9]（2017）在《几种非线性发展方程的复合型解及其性质研究》文中指出孤立子理论在非线性科学研究领域里占有很重要的地位,在研究它的过程中发现了一大批的非线性发展方程,为了能更深入的了解这些非线性发展方程的实际意义,最为重要的一步就是获得大量的新解。由于非线性发展方程的复杂性质,目前为止大量的非线性发展方程还没有一个统一的求解方法。在所有非线性发展方程的求解方法中,辅助方程法是一种比较直接有效的方法。本文主要是给出函数变换与辅助方程相结合的方法,利用符号计算系统Mathematica,构造了几种变系数（常系数）非线性发展方程（组）的复合型新解。这些解包括了 Airy函数、Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数组合的复合型新解。第一章中简述孤立子理论产生的历史背景,并介绍了非线性发展方程的几种求解方法以及本文的主要工作内容。第二章中通过函数变换,将变系数sine-Gordon方程的求解问题转化为二维线性波动方程的求解问题。然后,利用波动方程的解,构造了变系数sine-Gordon方程的新解,并通过解的图像研究了解的一些性质。第三章中通过函数变换,将mKdV方程、Sharma-Tasso-Olver（STO）方程和mZK方程的求解问题化为Airy方程的求解问题。在此基础上,利用Airy方程的解,得到了 mKdV方程等非线性发展方程的Airy函数解,并通过解的图像研究了解的一些性质。第四章中做了三项工作。1.利用第二种椭圆方程的已知解与解的非线性叠加公式,构造了耦合KdV方程组的由Jacobi椭圆函数解、双曲函数和三角函数两两组合的无穷序列复合型新解,并通过解的图像研究了解的一些性质。2.利用函数变换与二阶齐次线性常微分方程（或Riccati方程）相结合的方法,构造了变系数（3+1）维破碎孤子方程的复合型新解,并通过解的图像研究了解的一些性质。3.通过函数变换,将变形Boussinesq方程组的求解问题化为一阶齐次线性常微分方程和二阶齐次线性常微分方程的求解问题。在此基础上,构造了变形Boussinesq方程组的无穷序列复合型新解,并分析了解的性质。
套格图桑,白玉梅[10]（2013）在《非线性发展方程的Riemann theta函数等几种新解》文中研究指明为了构造非线性发展方程的复合型无穷序列精确解,获得了第二种椭圆方程的Riemann theta函数等几种新解.在此基础上,利用第二种椭圆方程与Riccati方程的Bcklund变换和解的非线性叠加公式,借助符号计算系统Mathematica,以mKdV方程为应用实例,构造了该方程的复合型无穷序列新精确解.这里包括Riemann theta函数、Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数,通过几种形式构成的复合型无穷序列新精确解.
二、New Solutions to Generalized mKdV Equation（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、New Solutions to Generalized mKdV Equation（论文提纲范文）
（1）一类广义KdV-mKdV方程新的精确解（论文提纲范文）
| 0 引 言 |
| 1 预备知识 |
| 2 广义 KdV-mKdV 方程的精确解 |
| 3 结果分析 |
| 4 结 语 |
（2）关于几类非线性波方程的精确行波解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子理论的发展历史 |
| 1.2 非线性波方程的求解方法简介 |
| 1.3 本文主要工作及研究成果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 微分方程与动力系统 |
| 2.2 行波解的几种类型 |
| 2.3 奇非线性波方程的动力系统方法 |
| 第三章 广义二分量peakon型对偶方程的分支和精确行波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 系统(3.21)的相图分支 |
| 3.2.1 g_1=0的情形 |
| 0的情形'>3.2.2 g_1>0的情形 |
| 3.3 系统(3.21)的行波解分类及其精确表达式 |
| 3.3.1 系统(3.21)的光滑孤立波解和伪孤立尖波解 |
| 3.3.2 系统(3.21)的孤立尖波解和反孤立尖波解 |
| 3.3.3 系统(3.21)的周期尖波解 |
| 3.3.4 系统(3.21)的破缺波解 |
| 3.3.5 系统(3.21)的光滑周期波解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 旋转Camassa-Holm方程的分支和精确行波解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 系统(4.7)的相图分支 |
| 4.2.1 f(Φ)有一个单根的情形 |
| 4.2.2 f(Φ)有一个重根的情形 |
| 4.2.3 f(Φ)有三个单根的情形 |
| 4.2.4 特殊情形a_0=0 |
| 4.3 系统(4.7)的行波解分类及其精确表达式 |
| 4.3.1 系统(4.7)的光滑周期波解和周期尖波解 |
| 4.3.2 系统(4.7)的孤立波解、周期尖波解和孤立尖波解 |
| 4.3.3 系统(4.7)的光滑孤立波解和破缺波解 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 非局域流体动力学方程的分支和精确行波解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 系统(5.4)的相图分支 |
| 5.2.1 系统(5.4a)的相图分支 |
| 5.2.2 系统(5.4b)的相图分支 |
| 5.3 系统(5.4)的行波解分类及其精确表达式 |
| 5.3.1 系统(5.4)的光滑孤立波解和周期波解 |
| 5.3.2 系统(5.4)的周期尖波解和伪孤立尖波解 |
| 5.3.3 系统(5.4)的破缺波解 |
| 5.3.4 系统(5.4)的不可数无穷多孤立波解、扭波和反扭波解 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 分数阶mKdV方程的分支和精确行波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 系统(6.7)的相图分支 |
| 6.3 系统(6.7)的行波解分类及其精确表达式 |
| 6.3.1 系统(6.7)的光滑周期波解 |
| 6.3.2 系统(6.7)的扭波和反扭波解 |
| 6.3.3 系统(6.7)的孤立波解 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（3）几类自对偶网络方程的可积性及解析研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 引言 |
| 1.1 孤子与离散可积系统 |
| 1.2 离散的非线性自对偶网络方程及研究进展 |
| 1.3 离散可积系统的解析方法 |
| 1.4 研究背景及安排 |
| 1.4.1 立论背景 |
| 1.4.2 本文研究的几类非线性自对偶网络方程 |
| 1.4.3 内容安排 |
| 第2章 与非线性自对偶网络方程有关的方程可积性 |
| 2.1 非线性自对偶网络方程的可积性质研究 |
| 2.1.1 方程族 |
| 2.1.2 无穷守恒律 |
| 2.2 逆空间非局域非线性自对偶网络方程的可积性 |
| 2.2.1 方程族 |
| 2.2.2 无穷守恒律 |
| 2.3 逆时间非局域非线性自对偶网络方程的可积性 |
| 2.3.1 方程族 |
| 2.3.2 无穷守恒律 |
| 2.4 逆空时非局域非线性自对偶网络方程的可积性 |
| 2.4.1 方程族 |
| 2.4.2 无穷守恒律 |
| 2.5 本章总结 |
| 第3章 高阶非线性自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 3.1 调制不稳定 |
| 3.2 离散广义(m,N-m)-波达布变换 |
| 3.2.1 N-孤子解和渐近分析及其动力学分析——应用N-波达布变换 |
| 3.2.2 有理孤子解及其动力学分析——应用离散广义(1,N-1)-波达布变换 |
| 3.2.3 相互作用解及其动力学分析——应用离散广义(2,N-2)-波达布变换 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 逆空间非局域自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 4.1 离散广义(n,N-m)-波达布变换 |
| 4.1.1 多孤子解及其动力学分析——应用离散非局域的N-波达布变换 |
| 4.1.2 有理解——应用离散非局域的广义(1,N-1)-波达布变换 |
| 4.2 本章小结 |
| 第5章 逆时间非局域自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 5.1 N-波达布变换 |
| 5.2 非局域多孤子解和渐近分析及其动力学分析 |
| 5.3 孤子解的动力学演化 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 逆空时非局域自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 6.1 离散N-波达布变换 |
| 6.2 多孤子解和渐近分析及其动力学分析 |
| 6.3 本章小结 |
| 6.4 第三章至第六章中四类非线性自对偶网络方程的孤子解性质比较 |
| 第7章 与非线性自对偶网络方程有关的Toda类晶格方程的可积性和解析解研究 |
| 7.1 方程族与Hamiltonian结构 |
| 7.2 无穷守恒律 |
| 7.3 离散广义(m,N-m)-波达布变换 |
| 7.4 离散广义(m,N-m)-波达布变换的应用 |
| 7.4.1 多孤子解及其动力学分析——应用离散的N-波达布变换 |
| 7.4.2 有理解和半有理解——应用离散的广义(1,N-1)-波达布变换 |
| 7.4.3 混合解——应用离散的广义(2,N-2)-波达布变换 |
| 7.5 本章小结 |
| 第8章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 个人简历 |
（4）超对称非等谱KdV方程的孤子解以及Darboux变换（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 背景 |
| 1.2 论文主要工作 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 KdV方程的导出 |
| 2.2 Hirota双线性方法 |
| 2.3 Wronskian技巧 |
| 2.4 Darboux变换 |
| 2.5 超对称理论 |
| 第3章 超对称非等谱KdV方程的孤子解 |
| 3.1 超对称非等谱KdV方程的导出 |
| 3.2 超对称非等谱KdV方程的双线性化 |
| 3.3 超对称非等谱KdV方程的孤子解 |
| 3.4 超对称非等谱KdV方程的Wronskian形式解 |
| 第4章 超对称非等谱KdV方程的Darboux变换 |
| 4.1 超对称等谱KdV方程的Darboux变换 |
| 4.2 超对称非等谱KdV方程的一次Darboux变换 |
| 4.3 超对称非等谱KdV方程的n次Darboux变换 |
| 第5章 变系数超对称KdV方程的Darboux变换 |
| 第6章 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 发表以及完成论文 |
（5）两类（2+1）维可积方程簇的可积分解及其精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性可积方程 |
| 1.2 PT对称的非线性可积方程 |
| 1.3 非线性可积方程的求解方法 |
| 1.4 选题和主要工作 |
| 第二章 (2+1)维AKNS系统的两类约化和可积分解 |
| 2.1 AKNS系统的两类约化 |
| 2.1.1 耦合NLS方程的两类约化 |
| 2.1.2 耦合mKdV方程的两类约化 |
| 2.2 (2+1)维AKNS系统的两类约化 |
| 2.2.1 耦合(2+1)维NLS方程的两类约化 |
| 2.2.2 耦合(2+1)维mKdV方程的两类约化 |
| 2.3 (2+1)维AKNS系统的可积分解 |
| 第三章 (2+1)维NLS方程的达布变换 |
| 3.1 耦合情形下的达布变换 |
| 3.2 约化情形下的达布变换 |
| 3.3 (2+1)维非局部NLS方程的求解问题 |
| 3.3.1 非消失边界下的孤立子解 |
| 3.3.2 非消失边界下的有理孤立子解 |
| 第四章 (2+1)维KN系统的两类约化和可积分解 |
| 4.1 KN系统的两类约化 |
| 4.1.1 耦合DNLS方程的两类约化 |
| 4.1.2 耦合DMKDV方程的两类约化 |
| 4.2 (2+1)维KN系统的两类约化 |
| 4.2.1 耦合(2+1)维DNLS的两类约化 |
| 4.3 (2+1)维KN系统的可积分解 |
| 第五章 (2+1)维DNLS—Ⅰ方程的达布变换 |
| 5.1 耦合情形下的达布变换 |
| 5.2 约化情形下的达布变换 |
| 5.3 (2+1)维DNLS—Ⅰ方程的求解问题 |
| 5.3.1 消失边界下的孤立子解 |
| 5.3.2 非消失边界下的孤立子解和呼吸子解 |
| 5.3.3 有理孤立子解和lump解 |
| 第六章 结论和展望 |
| 6.1 本文总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位论文期间发表或录用的学术论文目录 |
（6）离散mKdV方程的微扰理论（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 第二章 正散射问题 |
| 第三章 含修正项的mKdV方程 |
| 第四章 以反散射变换为基础的微扰方法 |
| 第五章 z_ζ的时间演化 |
| 第六章 b_ζ(t)的时间演化 |
| 第七章 守恒律的微扰修正 |
| 总结与期望 |
| 参考文献 |
| 疫情感言 |
| 致谢 |
（7）非线性局域波及其动力学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性局域波及其动力学研究 |
| 1.2 非线性局域波的求解方法及其研究 |
| 1.3 符号计算在非线性可积系统中的应用 |
| 1.4 本文的选题和主要工作 |
| 第2章 广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.1 广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系及其构造算法研究 |
| 2.2 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.2.1 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.2.2 3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.3 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.3.1 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.3.2 广义3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.4 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.4.1 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.4.2 4+1维Fokas方程的非线性局域波 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 Darboux变换及非线性局域波 |
| 3.1 Lax对与可积系统关系的符号计算算法研究及其实现 |
| 3.1.1 Laxpairtest程序包 |
| 3.1.2 Laxpairtest程序包应用实例 |
| 3.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.2.1 AB-NLS方程 |
| 3.2.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.3 AB-NLS方程的非线性波 |
| 3.3.1 AB-NLS方程的1-孤子解 |
| 3.3.2 AB-NLS方程的2-孤子解 |
| 3.4 AB-NLS方程的周期解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 高维非线性系统的lump解及其动力学分析 |
| 4.1 4+1维Fokas方程的lump解 |
| 4.2 4+1维Fokas方程lump解的动力学分析 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 高维非线性系统的高阶怪波及其演化 |
| 5.1 一个新的符号计算方法 |
| 5.2 3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.3 广义3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 KdV-SCS方程的若干非线性局域波解 |
| 6.1 KdV-SCS方程的双曲函数解 |
| 6.2 KdV-SCS方程的Jacobi椭圆函数解 |
| 6.3 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法 |
| 6.3.1 (G'/G)-扩展法 |
| 6.3.2 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法的应用 |
| 6.4 KdV-SCS方程的群不变解 |
| 6.5 KdV-SCS方程的Painleve性质 |
| 6.6 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
（8）几个非线性可积方程的孤子解及其动力学性质（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性可积方程 |
| 1.2 非线性可积方程的求解方法 |
| 1.3 离散可积系统和连续可积系统可积性之间的联系 |
| 1.4 非线性可积方程的怪波解 |
| 1.5 本文的主要研究结果 |
| 第二章 耦合聚焦-散焦复短脉冲方程的多孤子、呼吸子和怪波解 |
| 2.1 聚焦-散焦CCSP方程可积性和亮-亮孤子解 |
| 2.2 聚焦-散焦CCSP方程的亮-暗孤子解 |
| 2.3 聚焦-散焦CCSP方程的暗-暗孤子解 |
| 2.4 聚焦-散焦CCSP方程的呼吸子解 |
| 2.5 聚焦-散焦CCSP方程的怪波解 |
| 2.6 小结 |
| 第三章 空间离散Hirota方程的高阶怪波解 |
| 3.1 空间离散Hirota方程的Lax对和广义Darboux变换 |
| 3.2 空间离散Hirota方程的高阶怪波解及其性质 |
| 3.3 一阶怪波的局部特征 |
| 3.4 调制不稳定性 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 空间离散非局部复mKdV方程可积性和非局部复mKdV方程可积性之间的联系 |
| 4.1 空间离散非局部复mKdV方程的可积性和Darboux变换 |
| 4.2 空间离散非局部复mKdV方程的精确解 |
| 4.3 非局部复mKdV方程的Darboux变换与精确解 |
| 4.4 空间离散的和连续的非局部复mKdV方程可积性之间的联系 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 非局部复耦合无色散方程的Darboux变换和精确解 |
| 5.1 非局部复耦合无色散方程的Darboux变换 |
| 5.2 非局部复耦合无色散方程的精确解 |
| 5.3 小结 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位论文期间发表或录用的学术论文目录 |
| 致谢 |
（9）几种非线性发展方程的复合型解及其性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子理论产生的历史背景 |
| 1.2 概述非线性发展方程的求解方法 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 变系数sine-Gordon方程的几种新解 |
| 2.1 变系数sine-Gordon方程与几种函数变换 |
| 2.2 变系数sine-Gordon方程的解与解的性质 |
| 2.3 结论 |
| 第三章 非线性发展方程的特殊函数解 |
| 3.1 mKdV方程与STO方程的Airy函数解 |
| 3.1.1 Airy函数解 |
| 3.1.2 mKdV方程和Sharma-Tasso-Olver(STO)方程的特殊函数解 |
| 3.1.3 mKdV方程和Sharma-Tasso-Olver(STO)方程解的性质 |
| 3.1.4 结论 |
| 3.2 mZK方程的Airy函数解 |
| 3.2.1 mZK方程的特殊函数解 |
| 3.2.2 mZK方程解的性质 |
| 3.2.3 结论 |
| 第四章 几种辅助方程与非线性发展方程的复合型解 |
| 4.1 耦合KdV方程组的复合型新解 |
| 4.1.1 耦合KdV方程组与第二种椭圆方程 |
| 4.1.2 耦合KdV方程组的无穷序列复合型新解 |
| 4.1.3 耦合KdV方程组解的性质 |
| 4.1.4 结论 |
| 4.2 变系数(3+1)维破碎孤子方程的复合型新解 |
| 4.2.1 方法介绍 |
| 4.2.2 辅助方程的解 |
| 4.2.3 变系数(3+1)维破碎孤子方程的复合型新解 |
| 4.2.4 变系数(3+1)维破碎孤子方程解的性质 |
| 4.2.5 结论 |
| 4.3 变形Boussinesq方程的复合型新解 |
| 4.3.1 两种辅助方程的解 |
| 4.3.2 变形Boussinesq方程组的复合型新解 |
| 4.3.3 变形Boussinesq方程组解的性质 |
| 4.3.4 结论 |
| 第五章 结语 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间参与的科研项目与获得成果目录 |
| 一、获得成果 |
| 二、参与的科研项目 |
| 致谢 |
四、New Solutions to Generalized mKdV Equation（论文参考文献）
- [1]一类广义KdV-mKdV方程新的精确解[J]. 郭春晓,郭艳凤. 河南理工大学学报(自然科学版), 2021(05)
- [2]关于几类非线性波方程的精确行波解研究[D]. 梁建莉. 浙江师范大学, 2021(02)
- [3]几类自对偶网络方程的可积性及解析研究[D]. 袁翠连. 北京信息科技大学, 2021(08)
- [4]超对称非等谱KdV方程的孤子解以及Darboux变换[D]. 陈莉. 华东理工大学, 2021(08)
- [5]两类（2+1）维可积方程簇的可积分解及其精确解[D]. 朱晓鸣. 中国科学技术大学, 2020(01)
- [6]离散mKdV方程的微扰理论[D]. 王胜男. 郑州大学, 2020(02)
- [7]非线性局域波及其动力学分析[D]. 申亚丽. 陕西师范大学, 2019(01)
- [8]几个非线性可积方程的孤子解及其动力学性质[D]. 杨军. 上海交通大学, 2018(01)
- [9]几种非线性发展方程的复合型解及其性质研究[D]. 范俊杰. 内蒙古师范大学, 2017(02)
- [10]非线性发展方程的Riemann theta函数等几种新解[J]. 套格图桑,白玉梅. 物理学报, 2013(10)